Какво представляват фракталите: красотата на математиката и безкрайността

2024 Автор: Seth Attwood | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-16 15:58

Фракталите са известни от век, добре са проучени и имат многобройни приложения в живота. Това явление обаче се основава на много проста идея: множество форми, безкрайни по красота и разнообразие, могат да бъдат получени от сравнително прости структури, като се използват само две операции - копиране и мащабиране.

Какво общо имат едно дърво, морски бряг, облак или кръвоносни съдове в ръката ни? На пръв поглед може да изглежда, че всички тези обекти нямат нищо общо. Всъщност обаче има едно свойство на структура, присъщо на всички изброени обекти: те са самоподобни. От клона, както и от ствола на дървото, има по-малки клони, от тях - още по-малки и т.н., тоест клонът е като цялото дърво.

Кръвоносната система е устроена по подобен начин: артериолите се отклоняват от артериите, а от тях - най-малките капиляри, през които кислородът навлиза в органите и тъканите. Нека разгледаме сателитни снимки на морския бряг: ще видим заливи и полуострови; нека го разгледаме, но от птичи поглед: ще видим заливи и носове; Сега нека си представим, че стоим на плажа и гледаме в краката си: винаги има камъчета, които стърчат във водата по-далеч от останалите.

Тоест, бреговата линия остава подобна на себе си, когато се увеличи. Американският (макар и израснал във Франция) математик Беноа Манделброт нарече това свойство на обектите фракталност, а самите такива обекти - фрактали (от лат. fractus - счупен).

Какво е фрактал?

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Обикновено фракталът е геометрична фигура, която удовлетворява едно или повече от следните свойства: • Има сложна структура при всяко увеличение (за разлика например от права линия, всяка част от която е най-простата геометрична фигура - a отсечка от линия). • Е (приблизително) себеподобен. • Има дробна хаусдорфова (фрактална) размерност, която е по-голяма от топологичната. • Може да се изгражда с рекурсивни процедури.

Геометрия и алгебра

Изучаването на фракталите в началото на 19-ти и 20-ти век е по-скоро епизодично, отколкото систематично, тъй като по-ранните математици са изучавали главно „добри“обекти, които са били поддаващи се на изследване с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да бъде диференцирана. Конструкцията му обаче беше изцяло абстрактна и трудна за възприемане.

Затова през 1904 г. шведът Хелге фон Кох изобретява непрекъсната крива, която няма допирателна никъде и е доста проста за начертаване. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Един от вариантите на тази крива се нарича "снежинка на Кох".

Идеите за самоподобие на фигурите бяха подхванати от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. той публикува статията си „Равнински и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, в която се описва друг фрактал – C-кривата на Леви. Всички тези по-горе фрактали могат условно да бъдат приписани на един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството на Манделброт. Първите изследвания в тази посока започват в началото на 20 век и се свързват с имената на френските математици Гастон Жулия и Пиер Фату. През 1918 г. е публикуван мемоарът на Джулия от почти двеста страници, посветен на итерациите на сложни рационални функции, в който са описани множествата на Джулия – цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството на Манделброт. Тази работа беше отличена с наградата на Френската академия, но не съдържаше нито една илюстрация, така че беше невъзможно да се оцени красотата на откритите предмети.

Въпреки факта, че тази работа прослави Юлия сред математиците от онова време, тя бързо беше забравена. Едва половин век по-късно компютрите отново обърнаха внимание: именно те направиха видими богатството и красотата на света на фракталите.

Фрактални размери

Както знаете, размерът (брой измервания) на геометрична фигура е броят на координатите, необходими за определяне на позицията на точка, лежаща върху тази фигура.

Например, позицията на точка върху крива се определя от една координата, на повърхност (не непременно равнина) от две координати, в триизмерно пространство от три координати.

От по-обща математическа гледна точка можете да дефинирате измерението по този начин: увеличаването на линейните размери, да речем, два пъти, за едномерни (от топологична гледна точка) обекти (сегмент) води до увеличаване на размера (дължина) два пъти, за двуизмерен (квадрат) същото увеличение на линейните размери води до увеличаване на размера (площта) с 4 пъти, за триизмерен (куб) - с 8 пъти. Тоест, "реалната" (т.нар. Хаусдорфова) размерност може да бъде изчислена като съотношение на логаритъма на увеличение на "размера" на обекта към логаритъма на увеличение на неговия линеен размер. Тоест за отсечката D = log (2) / log (2) = 1, за равнината D = log (4) / log (2) = 2, за обема D = log (8) / log (2) = 3.

Нека сега изчислим размерността на кривата на Кох, за чието изграждане единичният сегмент се разделя на три равни части и средният интервал се заменя с равностранен триъгълник без този сегмент. С увеличаване на линейните размери на минималния сегмент три пъти, дължината на кривата на Кох се увеличава в log (4) / log (3) ~ 1, 26. Тоест размерността на кривата на Кох е дробна!

Наука и изкуство

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт "Фракталната геометрия на природата", в която авторът събира и систематизира почти цялата налична по това време информация за фракталите и я представя по лесен и достъпен начин. В своето изложение Манделброт набляга основно не на тромави формули и математически конструкции, а на геометричната интуиция на читателите. Благодарение на компютърно генерирани илюстрации и исторически разкази, с които авторът умело разводни научния компонент на монографията, книгата се превърна в бестселър, а фракталите станаха известни на широката публика.

Техният успех сред нематематиците се дължи до голяма степен на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които един гимназист може да разбере, се получават изображения с удивителна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, дори се появи цяла тенденция в изкуството - фрактално рисуване и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет можете лесно да намерите много сайтове, посветени на тази тема.

Война и мир

Както бе отбелязано по-горе, един от природните обекти с фрактални свойства е бреговата линия. С него е свързана една интересна история, или по-скоро с опит да се измери дължината му, която е в основата на научната статия на Манделброт и е описана и в книгата му "Фракталната геометрия на природата".

Това е експеримент, поставен от Луис Ричардсън, много талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Една от посоките на неговото изследване е опитът да се намери математическо описание на причините и вероятността от въоръжен конфликт между двете страни. Сред параметрите, които той взе предвид, беше дължината на общата граница на двете враждуващи страни. Когато събира данни за числени експерименти, той установява, че в различни източници данните за общата граница между Испания и Португалия са много различни.

Това го накара да открие следното: дължината на границите на една държава зависи от владетеля, с който ги измерваме. Колкото по-малък е мащабът, толкова по-дълга е границата. Това се дължи на факта, че с по-голямо увеличение става възможно да се вземат предвид все повече и повече крайбрежни завои, които преди това бяха игнорирани поради грапавостта на измерванията. И ако при всяко увеличаване на мащаба се отварят неотчетените по-рано завои на линиите, тогава се оказва, че дължината на границите е безкрайна! Вярно е, че в действителност това не се случва - точността на нашите измервания има ограничена граница. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.

Конструктивни (геометрични) фрактали

Алгоритъмът за изграждане на конструктивен фрактал в общия случай е следният. На първо място, имаме нужда от две подходящи геометрични фигури, нека ги наречем основа и фрагмент. На първия етап се изобразява основата на бъдещия фрактал. След това някои от частите му се заменят с фрагмент, взет в подходящ мащаб - това е първата итерация на конструкцията. След това получената фигура отново променя някои части във фигури, подобни на фрагмент и т. н. Ако продължим този процес за неопределено време, тогава в предела получаваме фрактал.

Нека разгледаме този процес като използваме кривата на Кох като пример. Като основа за кривата на Кох можете да вземете всяка крива (за "снежинката на Кох" това е триъгълник). Но ще се ограничим до най-простия случай - сегмент. Фрагмент е прекъсната линия, показана в горната част на фигурата. След първата итерация на алгоритъма в този случай първоначалният сегмент ще съвпада с фрагмента, след което всеки от съставните му сегменти ще бъде заменен с прекъсната линия, подобна на фрагмент и т.н. Фигурата показва първите четири стъпки от този процес.

На езика на математиката: динамични (алгебрични) фрактали

Фракталите от този тип възникват при изследването на нелинейни динамични системи (оттук и името). Поведението на такава система може да се опише със сложна нелинейна функция (полином) f (z). Вземете някаква начална точка z0 на комплексната равнина (вижте страничната лента). Сега разгледайте такава безкрайна последователност от числа на комплексната равнина, всяко от които се получава от предишната: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

В зависимост от началната точка z0 такава последователност може да се държи различно: да се стреми към безкрайност като n -> ∞; сближават се до някаква крайна точка; приемат циклично редица фиксирани стойности; възможни са и по-сложни варианти.

Комплексни числа

Комплексното число е число, състоящо се от две части - реално и въображаемо, тоест формалната сума x + iy (тук x и y са реални числа). аз е т.нар. имагинерна единица, тоест число, което отговаря на уравнението i ^ 2 = -1. Основните математически операции са дефинирани върху комплексни числа - събиране, умножение, деление, изваждане (само операцията за сравнение не е дефинирана). За показване на комплексни числа често се използва геометрично представяне - на равнината (нарича се сложно), реалната част се полага върху абсцисата, а въображаемата част върху ординатата, докато комплексното число ще съответства на точка с декартова координати x и y.

По този начин всяка точка z от комплексната равнина има свой собствен характер на поведение по време на итерациите на функцията f (z) и цялата равнина е разделена на части. В този случай точките, лежащи на границите на тези части, имат следното свойство: за произволно малко изместване естеството на тяхното поведение се променя рязко (такива точки се наричат точки на бифуркация). И така, се оказва, че набори от точки с един специфичен тип поведение, както и набори от точки на бифуркация, често имат фрактални свойства. Това са множествата на Джулия за функцията f (z).

Семейство дракони

Променяйки основата и фрагмента, можете да получите невероятно разнообразие от конструктивни фрактали.

Освен това подобни операции могат да се извършват в триизмерно пространство. Примери за обемни фрактали са гъбата на Менгер, пирамидата на Серпински и др.

Семейството дракони се нарича още конструктивни фрактали. Понякога те се наричат с името на откривателите "дракони от магистралата-Хартър" (по своята форма те приличат на китайски дракони). Има няколко начина за начертаване на тази крива. Най-простият и най-интуитивният от тях е следният: трябва да вземете достатъчно дълга лента хартия (колкото по-тънка е хартията, толкова по-добре) и да я сгънете наполовина. След това го огънете отново два пъти в същата посока като първия път.

След няколко повторения (обикновено след пет или шест сгъвания, лентата става твърде дебела, за да бъде внимателно огъната допълнително), трябва да разгънете лентата назад и да се опитате да оформите ъгли от 90˚ при гънките. Тогава извивката на дракона ще се окаже в профил. Разбира се, това ще бъде само приблизително, както всички наши опити да изобразим фрактални обекти. Компютърът ви позволява да изобразите много повече стъпки в този процес и резултатът е много красива фигура.

Комплектът на Манделброт е конструиран по малко по-различен начин. Да разгледаме функцията fc (z) = z ^ 2 + c, където c е комплексно число. Нека построим последователност от тази функция с z0 = 0, в зависимост от параметъра c тя може да се отклонява до безкрайност или да остане ограничена. Освен това всички стойности на c, за които тази последователност е ограничена, образуват множеството на Манделброт. Тя е проучена подробно от самия Манделброт и други математици, които откриват много интересни свойства на това множество.

Вижда се, че дефинициите на множествата Джулия и Манделброт са сходни помежду си. Всъщност тези две групи са тясно свързани. А именно, множеството на Манделброт са всички стойности на комплексния параметър c, за които е свързано множеството на Джулия fc (z) (множество се нарича свързано, ако не може да бъде разделено на две несвързани части, с някои допълнителни условия).

Фрактали и живот

Днес теорията на фракталите се използва широко в различни области на човешката дейност. В допълнение към чисто научен обект за изследване и вече споменатото фрактално рисуване, фракталите се използват в теорията на информацията за компресиране на графични данни (тук се използва основно свойството за самоподобие на фракталите - в края на краищата, за да се запомни малък фрагмент от чертеж и трансформации, с които можете да получите останалите части, много по-малко е необходима памет, отколкото за съхранение на целия файл).

Чрез добавяне на произволни смущения към формулите, определящи фрактала, могат да се получат стохастични фрактали, които много правдоподобно предават някои реални обекти - релефни елементи, повърхността на водните тела, някои растения, което успешно се използва във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по-големи сходство на симулирани обекти с реални. В електрониката се произвеждат антени, които имат фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват доста висококачествено приемане на сигнал.

Икономистите използват фрактали, за да опишат кривите на валутния курс (свойство, открито от Манделброт). Това завършва тази малка екскурзия в невероятно красивия и разнообразен свят на фракталите.