Хенри Сегерман: Материална хармония в математиката

2024 Автор: Seth Attwood | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-16 15:58

Според легендата Питагор е първият, който открива, че две еднакво опънати струни издават приятен звук, ако дължините им са свързани като малки цели числа. Оттогава хората са очаровани от мистериозната връзка между красотата и математиката, напълно материална хармония на форми, вибрации, симетрия – и перфектна абстракция на числата и отношенията.

Тази връзка е ефимерна, но осезаема; не напразно художниците използват законите на геометрията от много години и се вдъхновяват от математическите закони. На Хенри Сегерман му беше трудно да изостави този източник на идеи: в края на краищата той е математик по призвание и по професия.

Бутилка на Клайн „Чрез мислено залепване на ръбовете на две ленти на Мобиус,“казва Хенри Сегерман, „можете да получите бутилка на Клайн, която също има една повърхност. Тук виждаме бутилка Klein, изработена от ленти на Mobius с кръгъл ръб.

По-скоро как може да изглежда в триизмерно пространство. Тъй като оригиналните „кръгли“ленти на Мобиус отиват до безкрайност, тогава такава бутилка на Клайн ще продължи до безкрайност два пъти и ще се пресече, което може да се види в скулптурата. Увеличено копие на тази скулптура украсява катедрата по математика и статистика в университета в Мелбърн.

Фрактали

„Роден съм в семейство на учени и мисля, че интересът ми към всичко, което изисква усъвършенствано пространствено мислене, е свързан с това“, казва Хенри. Днес той вече е завършил Оксфордската аспирантура и докторантура в Станфордските университети и заема длъжността доцент в Университета на Оклахома.

Но успешната научна кариера е само едната страна на неговата многостранна личност: преди повече от 12 години математикът започва да организира арт събития… във виртуалния свят на Second Life.

Този триизмерен симулатор с елементи на социална мрежа тогава беше много популярен, позволявайки на потребителите не само да общуват помежду си, но и да оборудват своите виртуални „аватари“и зони за забавление, работа и т.н.

Име: Хенри Сегерман

Роден през 1979г

Образование: Станфордския университет

Град: Stillwater, САЩ

Мото: „Вземете само една идея, но я покажете възможно най-ясно“.

Сегерман дойде тук, въоръжен с формули и числа, и подреди своя виртуален свят по математически начин, изпълвайки го с безпрецедентни фрактални фигури, спирали и дори тесеракти, четириизмерни хиперкубове. „Резултатът е проекция на четириизмерен хиперкуб в триизмерната вселена на Second Life – която сама по себе си е проекция на триизмерен виртуален свят върху двуизмерен плосък екран“, отбелязва художникът.

Кривата на Хилберт: непрекъсната линия запълва пространството на куб, никога не прекъсва или не се пресича със себе си.

Кривите на Хилберт са фрактални структури и ако увеличите, можете да видите, че части от тази крива следват формата на цялото. „Виждал съм ги хиляди пъти в илюстрации и компютърни модели, но когато за първи път взех такава 3D скулптура в ръцете си, веднага забелязах, че тя също е пружинираща“, казва Сегерман. „Физическото въплъщение на математическите понятия винаги е изненадващо с нещо.“

Работата с материални скулптури обаче му харесваше много повече. „Има огромни количества информация, която циркулира около нас през цялото време“, казва Сегерман. - За щастие, реалния свят има много голяма честотна лента, която все още не е достъпна в мрежата.

Дайте на човек завършено нещо, интегрална форма - и той веднага ще го възприеме в цялата му сложност, без да чака зареждане. Така от 2009 г. насам Зегерман е създал малко над сто скулптури и всяка от тях е визуално и, доколкото е възможно, точно физическо въплъщение на абстрактни математически концепции и закони.

Полиедри

Еволюцията на художествените експерименти на Сегерман с 3D принтиране странно повтаря еволюцията на математическите идеи. Сред първите му експерименти са класическите платонови тела, набор от пет симетрични фигури, сгънати в правилни триъгълници, петоъгълници и квадрати. След тях следваха полуправилни многогранници - 13 архимедови тела, чиито лица са образувани от неравномерни правилни многоъгълници.

3D модел Stanford Rabbit, създаден през 1994 г. Съставен от близо 70 000 триъгълника, той служи като прост и популярен тест за производителността на софтуерните алгоритми. Например на заек можете да тествате ефективността на компресиране на данни или изглаждане на повърхността за компютърна графика.

Следователно за специалистите тази форма е същата като фразата „Яжте още малко от тези меки френски рулца“за тези, които обичат да си играят с компютърни шрифтове. Скулптурата на Станфордското зайче е същият модел, чиято повърхност е постлана с буквите на думата зайче.

Вече тези прости форми, мигрирали от двуизмерни илюстрации и идеалния свят на въображението към триизмерната реалност, предизвикват вътрешно възхищение от тяхната лаконична и съвършена красота. „Връзката между математическата красота и красотата на визуалните или звуковите произведения на изкуството ми изглежда много крехка.

В края на краищата, много хора остро осъзнават една форма на тази красота, напълно не разбирайки другата. Математическите идеи могат да бъдат преведени във видими или гласови форми, но не всички и не толкова лесно, колкото може да изглежда “, добавя Сегерман.

Скоро все по-сложни форми следват класическите фигури, чак до тези, за които Архимед или Питагор едва ли са се сещали - правилни многогранници, които запълват хиперболичното пространство на Лобачевски без интервал.

Такива фигури с невероятни имена като "тетраедрична пчелна пита от порядък 6" или "шестоъгълна мозаечна пчелна пита" не могат да си представим без визуална картина под ръка. Или – една от скулптурите на Сегерман, които ги представят в обичайното ни триизмерно евклидово пространство.

Платонови тела: тетраедър, октаедър и икосаедър, сгънати в правилни триъгълници, както и куб и икосаедър, състоящи се от квадрати, базирани на петоъгълници.

Самият Платон ги свързва с четири елемента: "гладки" октаедрични частици, според него, нагънат въздух, "течни" икосаедри - вода, "плътни" кубове - земя, и остри и "трънливи" тритраедри - огън. Петият елемент, додекаедърът, е смятан от философа за частица от света на идеите.

Работата на художника започва с 3D модел, който той изгражда в професионалния пакет Rhinoceros. Като цяло това завършва: самото производство на скулптури, отпечатване на модела на 3D принтер, Хенри просто поръчва чрез Shapeways, голяма онлайн общност от ентусиасти на 3D печат, и получава завършен обект, изработен от пластмасови или метални матрични композити на базата на стомана и бронз. „Много е лесно“, казва той. „Просто качвате модел на сайта, щракнете върху бутона Добавяне в количката, поръчайте и след няколко седмици той ще ви бъде доставен по пощата.”

Фигура осма Допълване Представете си, че завързвате възел вътре в твърдо тяло и след това го премахвате; останалата кухина се нарича комплемент на възела. Този модел показва добавянето на един от най-простите възли, цифрата осем.

красота

В крайна сметка еволюцията на математическите скулптури на Сегерман ни отвежда в сложното и хипнотизиращо поле на топологията. Този клон на математиката изучава свойствата и деформациите на плоски повърхности и пространства с различни размери, като за него са важни по-широките им характеристики, отколкото за класическата геометрия.

Тук един куб може лесно да се превърне в топка, като пластилин, а чаша с дръжка може да се разточи в поничка, без да се счупи нищо важно в тях – добре познат пример, въплътен в елегантната Топологична шега на Сегерман.

Тесерактът е четириизмерен куб: точно както квадратът може да се получи чрез изместване на сегмент, перпендикулярен на него на разстояние, равно на неговата дължина, куб може да се получи чрез копиране на квадрат в три измерения и чрез преместване на куб в четвъртия ще "начертаем" тесеракт или хиперкуб. Той ще има 16 върха и 24 лица, чиито проекции в нашето триизмерно пространство изглеждат малко като обикновен триизмерен куб.

„В математиката естетическият усет е много важен, математиците обичат„ красивите “теореми, - твърди художникът. - Трудно е да се определи в какво точно се състои тази красота, както и в други случаи. Но бих казал, че красотата на теоремата е в нейната простота, която ви позволява да разберете нещо, да видите някои прости връзки, които преди са изглеждали невероятно сложни.

В основата на математическата красота може да бъде чист, ефективен минимализъм - и изненадано възклицание "Аха!". Дълбоката красота на математиката може да бъде толкова плашеща, колкото ледената вечност на двореца на Снежната кралица. Цялата тази студена хармония обаче неизменно отразява вътрешната подреденост и закономерност на Вселената, в която живеем. Математиката е просто език, който безпогрешно пасва на този елегантен и сложен свят.

Парадоксално, но съдържа физически съответствия и приложения за почти всяко твърдение на езика на математическите формули и отношения. Дори и най-абстрактните и "изкуствени" конструкции рано или късно ще намерят приложение в реалния свят.

Топологична шега: от определена гледна точка повърхностите на кръг и поничка са "едни и същи", или по-точно са хомеоморфни, тъй като могат да се трансформират една в друга без счупвания и лепила, поради постепенна деформация.

Евклидовата геометрия стана отражение на класическия стационарен свят, диференциалното смятане беше полезно за нютонова физика. Невероятната риманова метрика, както се оказа, е необходима за описване на нестабилната вселена на Айнщайн, а многомерните хиперболични пространства са намерили приложение в теорията на струните.

В това странно съответствие на абстрактни изчисления и числа с основите на нашата реалност може би се крие тайната на красотата, която непременно усещаме зад всички студени изчисления на математиците.